aspettando la "molteplicità" -1-

Il post annunciato, sulla "molteplicità" sarà preceduto da una serie di note necessarie. Potranno essere pensieri staccati tra loro, magari anche dentro una stessa nota, aforismi a puntate, ma con una meta annunciata. Queste brevi note, numerate, servono a dare a me il piacere di scrivere la mattina presto, quando la casa ancora dorme e il sole comincia a dare luce alla cima dei colli intorno, e di poter interrompere quando la realtà mi costringe a interrompere. E di stare mentalmente in compagnia di Al, di Mike, di Lucia, di Paolo. di Beppe, di Angela, di Luigi. Scrivo per me ma parlo a loro. Mi aiuta a trovare un senso*.

La "molteplicità" è trattata da Calvino nelle Lezioni americane, e ripresa da un bel libro** recente, che ne parla nell'ultimo capitolo come qualità della matematica. Le considerazioni dell'autore vogliono divulgare, riuscendoci,  aspetti insoliti che uniscono argomenti matematici nella storia della disciplina. Il capitolo inizia così:«La cura del linguaggio, la ricerca e lo sfruttamento delle possibilità che emergono da una considerazione oggettivale del linguaggio introdotta da Hilbert, sono armi potenti della matematica moderna. Linguaggi e calcoli, sinonimo di sistemi formali sono concetti matematici e sono «pedine» della matematica, da Hilbert in poi; inutilmente ha cercato di opporvisi un filosofo come Wittgenstein». E cita il capitolo Non esiste una metamatematica della Grammatica filosofica di Wittgenstein. Avverto che non ho le competenze per discutere di problemi logici, ma la presenza Wittgenstein mi permette di indicare aspetti per me significativi e importanti che riguardano la matematica. Saranno gradite segnalazioni e correzioni di errori macroscopici.

Allora: cosa non è (o è)  una «pedina” della matematica? Wittg. dice che  non lo è la Parola "calcolo":«Ho detto «Calcolo non è un concetto matematico». Questo vuol dire che la parola «calcolo» non è una pedina della matematica». Che differenza c’è tra “concetto matematico” e la parola che lo denomina? Solo la  seconda può essere una  pedina della matematica? ma se è solo un segno, perché allora farla dipendere da un concetto? E ancora, se il formalismo tratta solo segni e la loro manipolazione secondo regole fissate, perché Hilbert, nel suo Grundlagen, inizia cosi: “Noi possiamo suddividere gli assiomi in cinque gruppi; ciascuno dei gruppi esprime certi fatti fondamentali omogenei alla nostra intuizione***.” , proseguendo: "Indicheremo questi gruppi di assiomi come Assiomi di collegamento, di ordinamento, di congruenza,  delle parallele  ecc… "? Perchè  portare in ballo l’intuizione e fare riferimento a concetti come "il collegare" nel raggruppare per comodità gli assiomi in gruppi? E perchè raggrupparli?

Tornando al capitolo citato, Non esiste una metamatematica, Wittgenstein, parlando del calcolo e della fondazione dell’aritmetica, esclama: «Insegnacela: allora l’avrai fondata!» (il punto esclamativo è mio).

Tutto questo per sottolineare, da parte mia,  che un conto è essere matematici e un conto è essere insegnanti, un conto è “fare” matematica, un conto è apprenderla , un conto è studiare la matematica come strumento di alte espressioni professionali e un conto è studiarla come strumento culturale formativo. E ancora, un conto è studiarla per se stessa e e un conto è applicarla. 
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(*) nel senso di percorso verso un obiettivo che si precisa solo con il cammino.
(**)G. Lolli, Discorso sulla Matematica, Bollati Boringhieri, 2011
(***) il bold è mio.

Risposta a Al sulla "narrazione"

 Al, nella sua risposta al post "narrazione", specifica: «Cara Laura, non è la narrazione che ci rende insopportabile la matematica, è un tipo di narrazione particolare» e sottolinea con le parole di Calvino l'importanza della letteralità del racconto, contro una narrazione che esca dai confini che l'autore costruisce con le proprie parole:«Conclude Calvino: "so che ogni interpretazione impoverisce il mito e lo soffoca: coi miti non bisogna avere fretta; è meglio lasciarli depositare nella memoria, fermarsi a meditare su ogni dettaglio, ragionarci sopra senza uscire dal loro linguaggio di immagini. La lezione che possiamo trarre da un mito sta nella letteralità del racconto, non in ciò che vi aggiungiamo noi dal di fuori" 
Le fiabe - aggiunge Al - sembra che ci piacciano per le storie che raccontano per il loro contenuto, ma la riflessione di Calvino ci permette di riconoscere il perché del particolare esclusivo piacere e dell'impressione duratura che ci lasciano. 
Una persona non sa cosa è la matematica se non ha imparato a fare uno di quei discorsi formali, dove si seguono i rapporti di conseguenza determinati dagli oggetti magici (parole calde?), e non c'è nulla di superfluo, in particolare nessuna interpretazione dei simboli, nessun loro significato inteso (neanche di superficie). Non perché questa sia la parte più importante dell'attività matematica, ma perché è quella che meglio ne descrive la natura.»

Sono d'accordo con Al, la forma diventa sostanza in matematica. Imparare a gestire queste due cose insieme rappresenta uno degli obiettivi alti del mestiere del matematico e ne rappresenta l'essenza.


Sono d'accordo anche con Calvino: alcune letture sono coinvolgenti per il mondo nel quale ti avvolgono, non per i mondi esterni che ti indica. Chi ha tirato su un bambino lo sa: guai cambiare anche un solo un piccolo particolare delle storie che raccontiamo loro, vanno dette e ridette, sempre con le stesse parole, sempre con lo stesso loro piacere a ripercorrerle, a ripassarne gli stessi sentieri. Ogni parola in più, ogni termine tolto o cambiato, proietta altrove, guasta il mito.


Ma per riuscire a far capire cosa intendo quando affermo che "la matematica è difficile perchè non ha narrazione",  bisogna proprio che spieghi in maniera più approfondita cos'è per me il fenomeno della "narrazione".  

Intendo con  "narrazione" il modo in cui il nostro cervello elabora le informazioni che gli arrivano attraverso la parola: non si limita a una interpretazione statica, letterale, dei termini ma ne costruisce un senso aggiunto usando dinamicamente tutte le informazioni che possiede, secondo le regole create implicitamente dalla conversazione. Costruito un quadro sensato (ecco la "narrazione") il pensiero è pronto a muoversi ancora, se arrivano altre informazioni.  Supponiamo per esempio che A e B stiano parlando di un amico comune C, che ora lavora in banca. A chiede come vada il nuovo lavoro di C e B risponde:«Oh, piuttosto bene, mi pare, i colleghi gli piacciono e non è ancora stato arrestato.»  L’informazione contenuta dalla risposta di B consta di due soli elementi: a C piacciono i nuovi colleghi e non è ancora stato arrestato. Formalmente ciò non permette alcuna inferenza. Sempre formalmente “e non è ancora stato arrestato”può essere aggiunto alla fine di qualunque proposizione, senza che ciò permetta alcuna inferenza. Voi che leggete però vi fate una immediata e personale  narrazione sulla situazione, arrivando a conclusioni ben precise. Ecco un altro esempio di "narrazione": nelle frasi seguenti, diverse solo per le aggiunte attraverso la congiunzione "e",  si aprono quadri molto diversi tra loro causate dalle (in linguaggio tecnico) implicature conversazionali

- Maria è tornata da scuola

- Maria è tornata da scuola e non è ancora stato arrestata

- Il neonato è stato allattato

- Il neonato è stato allattato e non è ancora in prigione

- Maria è tornata da scuola e il neonato è stato allattato e non è ancora in prigione.

Per ogni frase la mente corre e disegna un quadro specifico, per ogni frase si costruisce una narrazione efficace.

Questo processo inconsapevole, creato dalle regole del linguaggio, è la molla del pensiero, vivacizza emotivamente la persona che pensa, la stimola, la fa sentire intellettualmente viva.

La matematica, nel processo di apprendimento, fa l'effetto opposto. La mancanza di movimento istintivo, del crearsi di una spontanea "narrazione", dà allo studente la sensazione di avere il pensiero paralizzato, imprigionato, crea angoscia. Una volta uno studente ha sbattuto la penna sul banco, si è preso la testa tra le mani e mi ha detto, tra l'arrabbiato e il preoccupato: "Mi sta venendo un attacco di claustrofobia". Ho capito subito cosa voleva dire e come si sentiva.

La matematica è una lunga e faticosa educazione del linguaggio, dell'immaginazione, dell'emozione, portati attraverso sentieri impervi e innaturali, che conducono  l'uomo lontano dalla semplificazione negativa e spesso crudele che un uso barbaro delle parole può produrre.

Ecco perché è preziosa, ecco perché  è affascinante, ecco perché, da insegnante, la amo. 

Tornata calma mi scuso per l'enfasi e annuncio che, per continuare questi discorsi  insieme a Calvino, la Parola del prossimo post sarà "molteplicità".

Matematica in bianco e nero?

La superficie di Al

"... la mia idea di superficie è poco matematica. Una superficie è qualcosa che ci sostiene, su cui ci muoviamo, ma mossa, ondulata, dolce, le colline del mio paese. Se l'occhio non è a fuoco, sembra liscia, solo colori. Sulla superficie ci sono sentieri."

Mi sono tolta gli occhiali per sfuocare l'immagine ed è apparsa una superficie geometrica a colori, un rettangolo sorprendentemente caldo. Ho sempre pensato le mie  immagini geometriche in  bianco e nero, ho vissuto una intera vita di immaginazione matematica come in un vecchio cinema muto, me ne rendo conto solo ora!

Ma qualcosa in me, pur colorandosi,  resta immutato: l'idea di superficie come possibilità.

Intermezzo: come vedevo la superficie geometrica

Ho chiesto*: come te la immagini una superficie geometrica? cosa si affaccia al tuo pensiero quando si presenta quella parola? A me, fino agli anni '90 - era il tempo che ancora si scriveva con la penna - si affacciava un foglio di quaderno e lo scrocchiare del foglio secondo il solco lasciato dal pennino.

Mi è sempre piaciuto quel rumore, a scuola pigiavo eccessivamente con la biro per ottenere fogli croccanti, e sfogliarli era bello, mi dava come un senso di lavoro accumulato, di sapere imprigionato. Ma se dovevo fare un disegno per un problema geometrico il segno diventava improvvisamente leggero. L'immaterialità dell'ente mi si imponeva, ne ero cosciente, il tutto doveva essere leggero e preciso. La matita  poi veniva ripassata, per farli più scuri, ma sempre senza lasciare solchi,  su quei segmenti delle forme già disegnate  che volevo far diventare lati di nuove forme che pensavo servissero per la risoluzione. Non avevo idea che esistessero le leggi della  Gestalt ma già ne usavo i principi. Mi divertiva scurire quel triangolo nascosto dentro un trapezio che mi permetteva di applicare il teorema di Pitagora  e di risolvere l'esercizio. Mi rendo conto ora che la superficie è sempre rimasta in secondo piano, nel mio pensiero. È sempre stata, per me scolara, solo sostegno di forme, intese come insieme chiuso di linee.
Inoltre, senza esserne cosciente, vedevo la superficie nello spazio, anche se allo spazio non pensavo mai se non quando affrontavo problemi di geometria solida. La vedevo nello spazio, l'ho capito anni dopo, perchè lo spazio mi serviva per scriverci sopra: adoperavo il compasso verticale per disegnare un cerchio, guardavo dall'alto, china sul quaderno, le figure già tracciate mentre ne cercavo gestalt più produttive e nuove linee da aggiungere. Se fossi stato  un abitante di Flatlandia  avrei dovuto inevitabilmente usare il compasso del giardiniere (una corda con una estremità fissa, che ruota nel piano) e la superficie, nella mia mente, sarebbe rimasta avvolta nelle sue due sole dimensioni. (Le figure chiuse, poi,  sarebbero state inaccessibili alla immediata e completa conoscenza visiva perchè i lati posti di fronte agli occhi avrebbero nascosto quelli dietro di loro. Che geometria avrebbero sviluppato a Flatlandia?...)

Oggi la vedo, la superficie,  in un modo ancora diverso, ma ci arriveremo alla fine del percorso di questi post sulle Parole, è quella la meta. Dove troveremo ad aspettarci Archimede. Anche lui rigorosamente in pantofole, s'intende.
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(*) vedi post precedente 

Parole: "narrazione"

La "narrazione" è ciò che si mette in movimento nella nostra testa quando si sentono o si leggono delle Parole o quando ce le diciamo da soli. Ho usato la maiuscola, Parole, perchè la narrazione è un racconto che prende il volo soprattutto con certe parole, parole calde, insomma, Parole.

Un bell'esempio di narrazione ci è dato da Troisi in questo video * nel quale l'attore napoletano mostra qual è** un grosso problema all'interno dei problemi di matematica: le parole calde. Il testo del problema contiene uova schiacciate, sacchi pesanti di farina, mercato, vendita, soldi, ricavo, tasche bucate da cui si perdono monete. La domanda matematica viene immediatamente scavalcata dalle emozioni suscitate dalla narrazione messa in moto dalle Parole in questione e Troisi si scalda e si altera pensando alla stupidaggine di non proteggere le uova dai sacchi di farina, mentre si sistemano sul carro che andrà al mercato.  

È la nostra intelligenza, la narrazione, è la nostra ricchezza, ciò che ci fa volare il pensiero, ed è anche a volte ciò che ci rende insopportabile la matematica. La matematica ammette poca narrazione, almeno mentre si impara, e quella poca ammessa è  sottoposta a rigorosa  educazione. 

 Ci tornerò sopra, per ora vi do solo un esempio. Eccolo: siamo in geometria, la stiamo imparando rivivendo la sua costruzione dei primi enti e le loro definizioni. C'è l'esigenza di definire bene cosa vuol dire, in geometria, "continuo", "contatto", "consecutivo". Non sono parole calde (forse solo "contatto", che  mette in moto narrazioni sentimentali subito ammazzate dal gelo del contesto) ma importanti: quando due enti geometrici sono in contatto? il punto estremo di un segmento è consecutivo ad esso o in contatto con lui? l'essere consecutivi basta a stabilire una continuità? Scommetterei tutto quello che ho che le poche parole che ho scritto non vi hanno mosso nessuna narrazione impetuosa, dentro, e che se la testa vi si muove lo fa con fatica. Che differenza con quello che succede quando si parla di "felicità", eh? 

Aristotele ha dato queste definizioni: «continuo è ciò i cui estremi sono uno», «contatto è ciò i cui estremi sono insieme», «consecutivo è ciò in cui non esiste come intermedio nulla che abbia la stessa natura». Sembra tutto incomprensibile, tranne forse la definizione di consecutivo, ma se si sa cosa significano per Aristotele le parole  "essere uno", qualcosa nel pensiero si muove, e se si conoscono le definizioni di "punto", "segmento", "superficie", qualche altro timido passo avanti, con fatica, forse lo si si fa. 

Non ho intenzione di coinvolgervi tecnicamente in questioni matematiche - solo su richiesta diretta forse rispondo - quindi niente cose tecniche, ma vi farò domande, mi interessano molto le risposte naturali, non da tecnico. La prima è questa : come ve la immaginate la superficie geometrica, come la definireste? Accetto anche la risposta di Al, se si impegna a non essere tecnico (difficile, Al, lo so, una volta persa l'ingenuità non è facile ritrovarla).

Ho voglia di mostrare come la matematica sia fredda solo per necessità, e come questa necessità alla fine divenga una virtù impagabile. E anche come, una volta imparata, la sua pratica possa diventare una rovente narrazione coinvolgente.

È come suonare il pianoforte: mentre impari, l'emozione non deve entrare nell'esecuzione delle scale, ti devi sorbire tempi infiniti nei quali le tue dita trovano prima la posizione giusta, poi i singoli tasti giusti, poi le configurazioni giuste di tasti, poi l'indipendenza dei movimenti tra mano sinistra e mano destra, poi l'automaticità dell'insieme, e infine, quando sai fare tutto ciò (hai cominciato a sette anni e te ne ritrovi addosso quindici) puoi abbandonarti all'emozione dell'esecuzione, all'abbandono emotivo, alla genialità della narrazione e della sua trasmissione.

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(*) parole chiave: scusate il ritardo, troisi, problema del contadino
(**) mi hanno insegnato a scrivere "qual'è", ho letto e usato questa forma per buona parte della vita, da qualche anno c'è scandalo se la si usa e io mi adeguo - le motivazioni sono giuste - ma ogni volta che scrivo qual è lo sento sbagliato. "Sbagliato" è una Parola.

Parole: "felicità"

Ieri Al ha portato in ballo la Parola "felicità". Non so se ne fosse consapevole, ma questa Parola va direttamente al cuore del problema delle Parole. Pensate a un mondo di animali vocianti ma non parlanti, magari animali di gruppo come i cani e le scimmie, e immaginatevi di dover definire cosa è la felicità per loro. Il compito è abbastanza semplice, chi ha un cane sa come farlo felice. La felicità, per animali del genere, è legata al soddisfacimento dei bisogni primari e quindi alla qualità dell'ambiente che li ospita. Negli animali di gruppo la felicità è anche funzione del temperamento di base, quello creato dal dna, dell'animale e del giusto posto sociale dell'animale stesso: esistono temperamenti dominanti e temperamenti subordinati, e il benessere dell'animale sta nel vivere il proprio ruolo armonicamente con il proprio status biologico. La felicità, nel  gruppo di animali senza parola,  assume carattere quasi oggettivo.
Ma pensate ora a una coppia di supercervelli - rispetto a quello di un cane - vaganti in un paradiso terrestre apparecchiato apposta per loro, e immaginateli parlanti. Che succede inevitabilmente? Uno di loro si annoia - un supercervello ha bisogno di esercitare i propri neuroni -  e disobbedisce al capo mangiando la mela della conoscenza. Quel tipo di mela non esiste senza la Parola. Immaginatevi Adamo ed Eva che litigano: non solo ringhi e risse ma anche argomentazioni, e può vincere il più abile, non il più forte. Si sono giocati la felicità oggettiva, in questo modo, e hanno complicato la loro vita.
E soprattutto hanno creato una domanda; quale scuola per i miei figli? (salto troppo brusco. forse, ma Al e gli altri due lettori che mi seguono sono abbastanza intelligenti per capire)
Ci arriveremo, alla Parola "scuola", ma non subito. 
Non ho ancora risposto in modo completo al commento di Al, per dirne una. Ecco Al, le personalità sfigate o creative hanno  spesso una base biologica dominante  - io per esempio lo sono, molto - ma in loro la dominanza non si esprime nella sopraffazione dell'altro ma nella resistenza all'ipnotismo del dominante non creativo di turno. Poco ipnotizzabile, poco omologabile, poco assogettabile, gente che non fa tendenza. Ma che crea Parole diverse.
Perchè a volte il creativo non è felice? perchè a volte non trova con chi  scambiare pensieri e impressioni, chi oggettivizzi le sue Parole e la sua esistenza,  perchè anche lui ha bisogno di un gruppo amico, e allora si sente solo e vive la sua  diversità con disagio.
Ecco perchè la scuola è importante. (quest'ultima frase me la potevo risparmiare. ma c'entra, fidatevi)

Parole: "sfigato". Dedicato a un amico Logico

Ho voglia di scrivere a lungo sulla manomissione delle parole, attuata di questi tempi scientificamente.  

Berlinguer dice: «La forte espansione scolastica non è stata accompagnata, come in altri pezzi d’Europa, dal passaggio da un sistema fondato sulla conoscenza a uno centrato sull’apprendimento." (corriere.it 8 maggio)

Questa frase non vuol dire nulla. È solo un modo di far accettare cambiamenti che servono a chi vuol cambiare le forme sociali e culturali di una comunità, di un paese, di una nazione. Tornerò sul tema della scuola, ma ora vi presento la riflessione sulla prima parola che ho scelto: "sfigato" o "perdente" , pubblicando lo status fb di Federico Mantile, che ho letto stamani. 

Voglio usare le sue parole  per creare un giusto alone italiano  attorno al termine "sfigato", che cancelli quello imposto dalla visione americana della vita.  Che "sfigato" definisca un insieme di  persone del genere che leggerete qui sotto, e che sono la forza morale, creativa e libera di un paese! I "vincenti", che ne sono di norma l'espressione contraria, sono soggetti che rincorrono il potere attraverso la disuguaglianza sociale, la prepotenza, lo sfruttamento, l'aridità personale e morale.

Io sono sfigata. Lo rivendico e me ne vanto.

{status di federico mantile}

Nel corso degli anni ho individuato [...] una struttura di personalità forte e dotata di sensibilità, creatività, empatia e intuizione, che ho chiamato personalità creativa.

Le persone che possiedono una personalità creativa sono capaci di amare, di sognare, di sperimentare, di giocare, di cambiare, di raggiungere i propri obiettivi e di formularne di nuovi. Sono uomini e donne emotivamente sani. Gente che non perde mai il contatto con la propria anima, cioè con quella saggezza profonda e profondamente ingenua, capace di sentire vibrare la bellezza e l’impalpabile immensità della vita in ogni cosa. Le personalità creative conoscono istintivamente la realtà interiore che ispira le nostre scelte (sia nel mondo immateriale dei sentimenti sia in quello materiale della fisicità). Sono persone che, nonostante il bombardamento di messaggi volti a deridere la presunta illusorietà di tutto ciò che i cinque sensi non riescono a padroneggiare considerandolo soggettivo, non perdono mai la consapevolezza che proprio quella soggettività è indispensabile, per vivere con pienezza. Le personalità di questo tipo sono inscindibilmente connesse alla propria anima e in contatto con la sua verità. Queste persone coltivano la certezza che la vita abbia un significato diverso per ciascuno e rispettano ogni essere vivente, sperimentando così una grande ricchezza di possibilità. E’ gente che non ama la competizione, la sopraffazione e lo sfruttamento, perché scorge un pezzetto di sé in ogni cosa che esiste. Gente che non riesce a sentirsi bene in mezzo alla sofferenza. Gente incapace di costruire la propria fortuna sulla disgrazia di altri. Gente che nella nostra società non va di moda. Gente disposta a rinunciare, per condividere. Gente impopolare. Derisa dalla legge del più forte. Beffata dalla competizione. Gente capace di mantenere salda la consapevolezza che la vita non è fatta soltanto di materialità. Gente che, a dispetto dell’emarginazione, del disprezzo sociale e dell’impopolarità che ne deriva, non dimentica mai l’importanza di ascoltare le cose col cuore. Gente che non riesce ad adeguarsi alle regole del predominio, che non sa approfittare dell’ingenuità, che non possiede la prontezza e la malizia per prevenire l’astuzia dei furbi. Portatori di un sapere che non piace, non perdono di vista l’importanza di ciò che non ha forma e non si può toccare. Sono queste le persone che possiedono una personalità creativa. Persone ingiustamente ridicolizzate e incomprese in un mondo malato di arroganza, e che, spesso, si rivolgono agli psicologi  chiedendo aiuto. Ognuno di loro è orientato verso scelte diverse da quelle di sempre. E in genere hanno valori e priorità incomprensibili per la maggioranza. Non seguono una religione, ma ascoltano con religiosa attenzione i dettami del proprio mondo interiore. Sanno scherzare, senza prendere in giro. Sono gente che non trascura il codice dei sentimenti. Gente che bazzica l’immateriale. Gente che paga sempre di persona il prezzo delle proprie scelte e preferisce perdere, per non prevaricare. Gente fatta così. Poco ipnotizzabile. Poco omologabile. Poco assoggettabile. Gente che non fa tendenza. Forse. Di certo, gente che preferisce sopportare il dolore piuttosto che barattare la dignità. Gente poco normale, di questi tempi. Gente con l’anima.